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素数是什么?优质

102次浏览 | 2020-07-05 01:52 更新
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  • 01

    素数又称质数,指在大于1的自然数中,除了1和该数自身外,无法被其他自然数整除的数(也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数)。

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    一个自然数(如1、2、3、4、5、6等)若恰有两个正约数(1及此数本身),则称之为素数。大于1的自然数若不是素数,则称之为合数。

    数字12不是素数,因为将12以每4个分成1组,恰可分成3组(也有其他分法)。11则无法分成数量都大于1且都相同的各组,而都会有剩余。因此,11为素数。

    在数字1至6间,数字2、3与5为素数,1、4与6则不是素数。1不是素数,其理由见下文。2是素数,因为只有1与2可整除该数。接下来,3亦为素数,因为1与3可整除3,3除以2会余1。因此,3为素数。不过,4是合数,因为2是另一个(除1与4外)可整除4的数:

    4 = 2 · 2.

    5又是个素数:数字2、3与4均不能整除5。接下来,6会被2或3整除,因为

    6 = 2 · 3.

    因此,6不是素数。右图显示12不是素数:12 = 3 · 4。不存在大于2的偶数为素数,因为依据定义,任何此类数字n均至少有三个不同的约数,即1、2与n。这意指n不是素数。因此,“奇素数”系指任何大于2的素数。类似地,当使用一般的十进位制时,所有大于5的素数,其尾数均为1、3、7或9,因为偶数为2的倍数,尾数为0或5的数字为5的倍数。

    若n为一自然数,则1与n会整除n。因此,素数的条件可重新叙述为:一个数字为素数,若该数大于1,且没有

    2, 3, ..., n − 1

    会整除n。另一种叙述方式为:一数n > 1为素数,若不能写成两个整数a与b的乘积,其中这两数均大于1:

    n = a · b.

    换句话说,n为素数,若n无法分成数量都大于1且都相同的各组。

    由所有素数组成之集合通常标记为P或

    前168个素数(所有小于1000的素数)为

    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 (OEIS中的数列A000040)。

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