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自然数的定义是什么?优质

83次浏览 | 2019-02-08 19:36 更新
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    自然数是指表示物体个数的数,即由0开始,0,1,2,3,4…一个接一个,组成一个无穷的集体,即指非负整数。

    自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数,即用0,1,2,3,4,……所表示的数。

    自然数集是全体非负整数组成的集合,常用 N 来表示。自然数有无穷无尽的个数。(注:整数包括自然数,所以自然数一定是整数,且一定是非负整数。)

    自然数集有加法和乘法运算,两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数,也可以作减法或除法,但相减和相除的结果未必都是自然数,所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类,为了使数的系统有严密的逻辑基础,19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论:自然数的序数理论和基数理论,使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。

    (序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质,用公理法给出自然数的如下定义)

    自然数集N是指满足以下条件的集合:

    ①N中有一个元素,记作1。

    ②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。

    ③1是0的后继者。④0不是任何元素的后继者。

    ⑤不同元素有不同的后继者。

    ⑥(归纳公理)N的任一子集M,如果1∈M,并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中,那么M=N。

    基数理论则把自然数定义为有限集的基数,这种理论提出,两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征,这一特征叫做基数 。这样 ,所有单元素集{x},{y},{a},{b}等具有同一基数 , 记作1 。类似,凡能与两个手指头建立一一对应的集合,它们的基数相同,记作2,等等 。自然数的加法 、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义,并且两种理论下的运算是一致的。

    自然数在日常生活中起了很大的作用,人们广泛使用自然数。自然数是人类历史上最早出现的数,自然数在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序,如城市的公共汽车路线,门牌号码,邮政编码等。

    自然数是整数(自然数包括正整数和零),但整数不全是自然数,例如:-1 -2 -3......是整数 而不是自然数。自然数是无限的。

    全体非负整数组成的集合称为非负整数集,即自然数集。

    在数物体的时候,数出的1.2.3.4.5.6.7.8.9……叫自然数。自然数有数量、次序两层含义,分为基数、序数。

    基本单位:计数单位:个、十、百、千、万、十万......

    总之,自然数就是指大于等于0的整数。当然,负数、小数、分数等就不算在其内了。

    自然数分类

    按是否是偶数分

    可分为奇数和偶数。

    1、奇数:不能被2整除的数叫奇数。

    2、偶数:能被2整除的数叫偶数。也就是说,除了奇数,就是偶数

    注:0是偶数。(2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。偶数可以被2整除,0照样可以,只不过得数依然是0而已)。

    按因数个数分

    可分为质数、合数、1和0。

    1、质 数:只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。也称作素数。

    2、合 数:除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。

    3、1:只有1个因数。它既不是质数也不是合数。

    4、当然0不能计算因数,和1一样,也不是质数也不是合数。

    备注:这里是因数不是约数。

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